Dez bolinhas contra a Navalha de Occam

                Há alguns anos atrás um irmão de clã me falou sobre certo problema de lógica. O contexto em que foi colocado era interessante. Estávamos praticando artes marciais. O estudo específico era justamente o de se identificar variáveis e inferir sob um contexto de poucos recursos de medição. Como se fazer uma sondagem de forma completa, definindo com segurança absoluta a decisão mais apropriada? Como gerir riscos com eficácia?

                A própria ciência possui métodos comprovados para lidar com estes tipos de situação. Eu soube de um que explicava claramente a forma intuitiva com que eu acabei resolvendo o problema proposto por meu irmão, através uma série famosa de TV. Muitos que leem esta postagem conhecem e gostam muito de “House MD”. O episódio específico a que me refiro é o terceiro da primeira temporada. Chama-se “A navalha de Occam”.  

                O que é a essa tal de “Navalha de Occam” (ou de Ockham)? Minha curiosidade na época me levou ao Google, onde acabei descobrindo que este é o nome dado a um princípio lógico atribuído ao um frade franciscano inglês chamado William de Ockham (lá no século XIV). Este princípio também é conhecido como “Lei da Parcimônia” ou “Lex Parcimoniae”. Para os que gostam de preciosismo latino: “entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem”. (Soa bonito, né?) A tradução da Wikipedia vai lhe dar a frase: “se em tudo o mais forem idênticas as várias explicações de um fenômeno, a mais simples é a melhor". Nas minhas palavras eu diria que as variáveis de um problema não devem ser nada além daquelas implicadas na própria situação específica.

                Vamos ao problema das dez bolinhas. Imagine uma balança de libra. Eu lhe dou dez bolinhas idênticas a olho nu. Digo a você que uma delas possui massa diferente das demais. Pode ser mais leve, ou mais pesada. Não é possível identificar com as mãos. Provavelmente algum espertinho começou a pensar isso! Você somente poderá usar a balança para três pesagens. Nenhuma a mais! Como você provaria que é possível descobrir, com certeza absoluta, qual é a bolinha diferente e, se ela é mais leve ou mais pesada? Eu sugiro que você se divirta tentando resolver antes de ler minha explicação. Não é nada de nível “Einstein”. Mas se você só quer saber onde isso vai dar, esteja à vontade.

                Ao contrário de colocar cinco bolinhas de cada lado, gastar uma pesagem e se sentir um gênio, você deveria considerar qual a probabilidade de, ao escolher uma bolinha aleatoriamente do conjunto completo, você acertar justo na diferente. Não se sinta mal se você pensou logo em colocar essas cinco bolas de cada lado. É assim que se começa! Como diria o Thomas Edison: “começando por como não fazer”.

                Você teria uma chance em dez de acertar, caso decidisse escolher uma bolinha aleatoriamente. Isso é o máximo improvável que a situação apresenta. A única certeza que você tem é de que há certamente uma bolinha diferente. A palavra “certeza” é importantíssima, por isso destaquei esta evidência. Você primeiro pensa em dividir o conjunto em dois grupos de cinco, pois está estimulado pela pergunta. Ela acaba te conduzindo “a se testar”: “Será que eu entendi mesmo a situação e o que preciso fazer?”. Por isso, se você “gastar” a primeira pesagem com cinco bolinhas de cada lado, você apenas provará que realmente há entre as dez bolinhas uma de massa diferente. Você não sabia disso de antemão?

                Onde a navalha do frade corta nisso? Se das dez, você decidisse escolher duas aleatoriamente, haveria 20% de chance de a bolinha diferente estar entre estas, certo? Levando em conta este percentual, é evidente que você provavelmente errou ao “chutar”. Se colocar duas bolinhas de cada lado, suas chances sobem para 40%, mas ainda assim você provavelmente errou. A dica é: “como chutar, em condições mínimas para provavelmente acertar?”. Simples, continue com a lógica: “da última vez foram duas bolas de cada lado, então, se você colocar três em cada prato da balança, seu novo número será 60% de chance de que a bola diferente esteja em um dos pratos da primeira pesagem!”. Isso significa que, a partir daí, você provavelmente acertou. Segundo o princípio da parcimônia, você só deve trabalhar com o mínimo necessário de variáveis sobre determinada situação. Sua primeira pesagem deverá ser com três bolinhas em cada prato, deixando outras quatro à parte.

                A pergunta que pode começar a vir é: “Por que não colocar quatro bolinhas de cada lado e mandar o frade William de Occam rezar um terço?”.  A resposta é simples: “porque você tem mais certeza do que necessita testar, logo está desperdiçando medições para coisas que já poderia saber de antemão”. Como assim? É bem provável mesmo que a bola diferente esteja provavelmente entre as oito que estão no prato. São 80% de chance. O problema é que depois de descobrir isso, você só terá duas pesagens e terá eliminado apenas duas bolas. Seu próximo número será seis novamente de qualquer forma. Isso resulta em eliminar quatro bolas com duas pesagens ao invés de uma apenas. Como assim, “eliminar bolas”? Vamos seguir e ficará claro.

Sigamos a “Navalha de Occam” e nossa amostra de seis bolinhas. Agora você pode começar pensar sobre como utilizar a balança. Seu primeiro trabalho será adicionar estas seis bolinhas que separou sobre ela. Elas ficarão dispostas três de cada lado da ferramenta. Neste momento é importante que você visualize o cenário, pouco antes de fazer a primeira experiência de pesagem. Você tem dois grupos de três bolas a ser usadas de imediato e um grupo de quatro bolas deixadas à parte por enquanto. Como em todo o problema de lógica, vou estabelecer nomes para os grupos e lados da balança. O grupo 1 é composto pelas primeiras três bolas, que serão colocadas no prato esquerdo da balança, grupo (1,2,3). O grupo 2 pelas próximas bolas (4,5,6), a serem colocadas no prato direito da balança. Vou dividir as quatro últimas bolas em dois conjuntos: um, composto pelas bolas (7, 8, 9); outro com apenas a bolinha 10. Vamos a primeira pesagem:

O que pode acontecer? A balança pode equilibrar, ou desequilibrar. É incerto, mas mais provável que desequilibre por 60% de chance. Supondo que aconteça o mais provável, você acabaria de eliminar as bolinhas 7, 8, 9 e 10. Estas certamente têm massas idênticas. Sua bola diferente entre uma das seis na balança. O quê fazer agora?

Você ainda têm duas pesagens e agora tem certeza sobre as bolas de 7 a 10. Visualize a balança? Suponha que o lado esquerdo esteja alto e o direto baixo. O grupo (1,2,3) está mais leve que o grupo (4,5,6) , certo? Mas você não sabe se a bola diferente é mais leve ou mais pesada. Como usar a segunda pesagem para descobrir tanto em qual desses dois grupos está a bola diferente, quanto se ela é mais leve ou mais pesada? Responder a estas perguntas é objetivo da segunda pesagem.

A dica é: “use uma certeza”. Pegue emprestado o grupo (7,8,9) , que você já tem certeza que tem massas iguais e substitua por qualquer um dos dois grupos na balança. Vou tomar como exemplo sempre prato direito, para facilitar a visualização. Lembrando que ele está mais baixo desde a primeira pesagem, ao substituir as bolinhas ali duas coisas podem acontecer como efeito dessa segunda pesagem: “ou a balança permanece desequilibrada; ou ela se equilibra”. Em ambas as possibilidades você já atinge seu objetivo nessa pesagem.

Caso a balança se mantenha desequilibrada, as bolinhas (4,5,6) têm a mesma massa das (7,8,9). Logo, a bolinha diferente está entre 1, 2 ou 3. Além disso, lembre-se que o prato esquerdo está mais alto. Isso determina definitivamente que a bolinha é mais leve.

Caso a balança se equilibre, as bolinhas (1,2,3) e as (7,8,9) têm massas iguais. Logo, é exatamente este grupo (4,5,6) que possuirá a bolinha de peso diferente. Como você sabe de antemão que o prato direito estava mais baixo, é evidente que a bolinha diferente entre estas três seria mais pesada.

Agora você tem três bolinhas nas mãos, dentre as quais uma diferente, sobre a qual já descobriu se é mais leve ou mais pesada. Você possui apenas uma pesagem agora. O que fazer? Primeiro as perguntas certas. Qual destas três bolinhas é a diferente? Como usar a balança para descobrir?

Você não vai colocar as três ao mesmo tempo no aparelho. Isso é evidente. Se só pode colocar duas das três, faça-o com desapego, enquanto segura a bola restante na mão. O que pode acontecer? Desequilibrar, ou equilibrar, certo?

Se desequilibrar, a bolinha que você já descobriu ser mais leve ou mais pesada estará no prato da balança, ou o que subir, ou o que descer respectivamente. Se equilibrar, ela estará na sua mão. Você resolveu o problema, mas ainda não saia na rua pelado gritando “eureca”! Você será preso por atentado ao pudor.

Ainda falta ponderar para o caso de na primeira pesagem os grupos (1,2,3) e (4,5,6) se equilibrarem. Ou seja, e se acontecer o menos provável? Ou, simbolicamente, e se eu der azar? Se você olhar de perto, verá que não deu azar nenhum? Você eliminou seis bolas, ao invés de quatro apenas. Basta pegar o grupo (7,8,9) e fazer a substituição conforme o plano de segunda pesagem. A bolinha diferente tem 75% de chance (3/4) de estar no grupo (7,8,9) nessa pesagem. O que pode acontecer?

E se desequilibrar? – o mais provável:

 Nesse caso, a bolinha estará no grupo (7,8,9). Se o prato em que você colocou este grupo subir, a bola diferente é mais leve. Caso contrário, se descer, ela é mais pesada. Agora você caiu novamente na situação de ter uma pesagem e três bolinhas, já sabendo sobre a massa dela em relação às demais. Basta repetir o processo e alcançar a solução. “Posso sair pelado gritando “eureca”?” NÃO! Já disse que vão te prender.

E se Equilibrar – a possibilidade menos provável de todas desse problema:

Não se aflija. Isso significa que você praticamente deu a mesma sorte que se escolhesse a bolinha entre as dez aleatoriamente e acertasse. Como? Se (1,2,3) equilibra com (4,5,6) e, depois de trocar um destes grupos com (7,8,9), equilibrou novamente, a bolinha diferente é definitivamente a que sobrou. Além disso, você ainda tem uma pesagem. O que fazer para descobrir se mais leve ou mais pesada? É bem simples. Basta pegar uma das outras 9 e colocar na balança para fazer a última pesagem entre ela e a sua. Se o prato da bola diferente subir, ela é mais leve. Se descer, é mais pesada. Pode sair na rua gritando “eureca!”, mas vista uma roupa antes pelo menos.

Qual o interesse de postar esse problema tresloucado? Acho que muitas vezes nos deparamos com situações em que temos de fazer análises das condicionantes de uma situação, temos poucos recursos para medir ou calcular e somos obrigados a decidir de forma imprescindível e inadiável. Essa lei da parcimônia sempre esteve por aí. Esse problema na realidade não passa de uma ilustração sobre como conduzir as coisas. Por que um frade franciscano se ocupou disso com tanto esmero? Será que era por que ele não tinha mais o que fazer? Duvido!

Cesar Marco Aurélio, um grande estoico, não falava de “Prudentia” como uma de suas virtudes cardinais? Os monges chineses não transmitem o princípio da simplicidade através da vivência prática? O Bushido da cultura japonesa não possui o “coração no caminho do meio” entre suas sete virtudes? A diferença destes últimos para o frade é basicamente o tipo de vida que estes levaram em relação àquele. Enquanto o frade era um religioso e estudioso, os outros vivenciavam longos períodos de guerra, morte e caos na prática. Entretanto, será que um frade não está preocupado com guerra, morte e caos na vida das pessoas? Será que esse caos não poderia estar dentro de cada um e acabar por vir causando o que está fora, apenas por uma devida falta de parcimônia?